1.3 Potenciación
Potenciación
![](http://aulavirtual.ucpejv.edu.cu/pluginfile.php/2813/mod_lesson/page_contents/495/Teorema.png)
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Si \( a \) es un número real cualquiera y \( n \) un número natural (diferente de cero), entonces:
\( a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a ... a} \\ \hspace{3mm} (n \hspace{2mm} factores \hspace{2mm} a) \)
Si \( n = 1 \), entonces \( a^1 = a \).
Ampliación del concepto de potenciación con exponente cero, un número negativo y un número fraccionario.
Para todo a ≠ 0 se cumple que:
- \( a^0 = 1 \)
- \( a^{-1} = \frac{1}{a} \)
- \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) con \( n \in \mathbb{N} \) y \( n > 0 \)
- \( a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \) con \( p, q \in \mathbb{N} \) y \( q ≠ 0 \)
Propiedades:
Para \( a, b \in \mathbb{R} , a≠ 0, b ≠ 0 \) y \( m, n \in \mathbb{Q} \)
- \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b ) ^n \)
- \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
- \( a^n : b^n = ( \frac{a}{b} )^n \)
- \( (a^n)^m = a^{nm} \)
Otras propiedades:
- Si \( a^x = a^y \), entonces \( x = y \hspace{3mm} ( a ≠ 1) \)
- Si \( a > 1 \) y \( x < y \), entonces \( a^x < a^y \)
- Si \( 0 < a < 1 \) y \( x < y \),
entonces
\( a^x > a^y \)
- Si \( a > 1 \) y \( a^x < a^y \), entonces \( x < y \)
- Si \( 0 < a < 1 \) y \( a^x > a^y \) , entonces \( x < y \)
Ejemplo:
a) 3-1
= \( \frac{1}{3} \)
b) 50
= 1
c) 3-2 = \( \frac{1}{9} \)
d) 23
. 22 = 25 = 32
e) 32
. 22 = 62 = 36
f) 64 : 62 = 62 = 36
g) (23 )2 = 26 = 64
h) \( (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} \)
i) \( 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[]{4} = 2 \)
j) \( 7^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{7^2} = \sqrt[5]{49} \)
k) \( ( \frac{1}{3})^{- \frac{1}{2} } = [(\frac{1}{3})^{-1}]^{\frac{1}{2}} = 3^{ \frac{1}{2}} = \sqrt[]{3} \)