Razones trigonométricas

• Seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto a este ángulo y la longitud de la hipotenusa.

• Coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de la hipotenusa.

• Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente al ángulo.

• Cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto adyacente y la longitud del cateto opuesto al ángulo.

Análogamente:

\( sen \beta = \frac{b}{c} \)

\( cos \beta = \frac{a}{c} \)

\( tan \beta = \frac{b}{a} \)

\( \alpha \) y \( \beta \) son ángulos complementarios porque \( \alpha + \beta = 90^0 \). Esta relación se puede expresar de manera más general como:

\( \alpha = 90^0 - \beta \) o \( \beta = 90^0 - \alpha \)

Las razones seno y coseno son complementarias y de igual forma lo son tangente y cotangente. Entonces, de las relaciones anteriores se puede deducir que la razón trigonométrica de un ángulo es igual a la razón trigonométrica complementaria del ángulo complementario.

En símbolo:

\( sen (90^0 - \alpha) = cos \alpha \)

\( cos (90^0 - \alpha) = sen \alpha \)

\( tan (90^0 - \alpha) = cot \alpha \)

\( cot (90^0 - \alpha) = cot \alpha \)

Resumiendo:

El coseno de un ángulo es el seno del ángulo complementario y la tangente es el cociente del seno del ángulo entre el coseno del mismo ángulo.

Además de las razone trigonométricas en el triangulo rectángulo se deduce la siguiente conclusión:

Como la hipotenusa es mayor que los catetos, resulta:  sen \( \alpha \leq 1 \), cos \( \alpha \leq 1 \)

Trazando el triángulo en un sistema de coordenadas.

Si \( \alpha \) = 0°, el punto B está en el eje x.

Si \( \alpha \) = 90°, el punto B está en el eje y.

\( sen 90^0 = \frac{y}{\sqrt[]{0+y^2}} = 1 \) luego \( cos 0^0 = 1 \)

Análogamente

\( tan 0^0 = 0 \) luego \( cot 90^0 = 0 \)

\( tan 90^0 \) es no definida y \( cot 0^0 \) es no definida.

Teorema del ángulo de \( 30^0 \) 

• Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de 30°, el cateto opuesto a ese ángulo es la mitad de la hipotenusa.
• 
  

Sistema circular de medidas

Además del sistema sexagesimal de medidas de ángulos se utiliza también el sistema circular.

En este sistema se utiliza para medir el ángulo, la razón entre la longitud del arco de una circunferencia interceptada por el ángulo y el radio de dicha circunferencia.

Si \( l \) es la longitud del arco, \( \alpha^0 \) es amplitud del ángulo y \( r \) radio de la circunferencia, entonces se establece la siguiente proporción:

\( \frac{l}{r} = \frac{\pi \alpha^0}{180^0} \)

Como se puede observar la razón \( \frac{l}{r} \) es constante para cada ángulo \( \alpha \)

Un radian (en símbolos 1 rad)

• Es la amplitud de un ángulo en el que la longitud del arco es igual al radio.

Para calcular la medida de un ángulo en el sistema circular, se utiliza la razón: \( \frac{l}{r} \).

Concluimos:
\( \alpha^0 = \frac{\alpha_{rad} 180^0}{\pi} \) \)

\( \alpha_{rad} = \frac{ \pi \alpha^0 }{180^0} \)