Dados dos puntos del plano \( P_1 (x_1; y_1 ) \) y \( P_2 (x_2; y_2 ) \), la distancia entre ellos esta dada por la fórmula 

\( d (P_1; P_2 ) = \sqrt[]{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \)

Pendiente de una recta: Sean \( P_1 (x_1; y_1 ) \) y \( P_2 (x_2; y_2 ) \), dos puntos de una recta no paralela al eje de ordenadas, la pendiente , es el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas.

Sean las rectas \( r_1 \) y \( r_2 \) de pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) respectivamente, se cumple que:

a)  si y solo si \( m_1 \) = \( m_2 \)

b)  si y solo si  \( m_1 \)   \( m_2 \) = - 1.

Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(x_A; y_A), B( x_B; y_B ), entonces las coordenadas del punto medio M( x_M ; Y_M ) ON de AB son: \( x_m = \frac{x_a+x_b}{2}, y_m= \frac{y_a+y_b}{2} \).

Aplicaciones geométricas de esta fórmula.

Ejemplo:

a) Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A (2;-1), B(3;5) y C(-3;3), calcula la longitud de la mediana relativa al lado BC.

b) Prueba que las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son D (-1;-1); E (5; 0), F (3; 2) y G (-3; 1). ¿Qué tipo de cuadrilátero es?

Resolución:

a) Para calcular la longitud de la mediana AD, debemos conocer las coordenadas del punto medio (D) del lado BC. Luego:

\( x_d = \frac{x_c+x_b}{2}, y_d = \frac{y_c+y_b}{2}, (x_d,y_d) = (\frac{0}{2}:\frac{8}{2}) = (0;4) \)

por tanto D (0; 4)

\( d(D; A) = \sqrt[]{(0-2)^2+(4-(-1))^2} = \sqrt[]{4+25} = \sqrt[]{29} = 5,39 \)

b) Hallemos los puntos medios M y N de las diagonales DF y EG respectivamente

(x_M; y_M ) = (1; ½)    luego M(1;1/2)   

(x_N; y_N ) = (1; ½)     luego N(1;1/2)  por tanto M y N coinciden y las diagonales se cortan en su punto medio, luego el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema

• El lugar geométrico de la ecuación Ax + By + C = 0 con A≠ 0 ó B≠ 0 es una recta.

En la ecuación  Ax + By + C = 0 se tiene que:

Si A = 0, se trata de una recta paralela al eje x, y = - C/B.

En el caso B = 0, se trata de una recta paralela al eje y,  x = - C/A.( en este caso no es una función lineal).

 En el caso C = 0 la ecuación se reduce a y = -A/Bx o y = mx, la cual es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Para hallar la ecuación de una recta podemos seguir los pasos siguientes:

1.- Si se conoce un punto y la pendiente:

• Consideramos un punto fijo P(x;y) cualquiera de la recta.

• Sustituimos las coordenadas de P y del punto conocido al igual que el valor de la pendiente en la formula de la misma.

• Efectuamos y expresamos la recta en la forma  Ax + By + C = 0  o  y = mx + n.

2.- Si conocemos dos puntos hay dos procedimientos posibles a seguir:

• Hallamos el valor de la pendiente y seguimos el procedimiento anterior utilizando uno de los puntos dados.

• Sustituimos las coordenadas de los puntos en la ecuación y = mx + n, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos variables(m y n) y lo resolvemos para encontrar los valores de m y n, expresamos en la forma Ax + By + C = 0  o  y = mx + n.

Punto de intersección de dos rectas:

Para hallar el punto de intersección de dos rectas se forma un sistema de ecuaciones con las ecuaciones de cada una de las rectas dadas, se resuelve el sistema y:

1) Si tiene una solución los valores que se obtienen para cada una de las variables (x o y) son las coordenadas del punto de intersección (x;y).

2) Si no tiene solución es porque las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales y la razón entre los coeficientes de las mismas variables (x o y) y entre los términos independientes son diferentes.

3) Si tiene infinitas soluciones es porque las rectas son coincidentes, sus pendientes son iguales y la razón entre los coeficientes de las mismas variables (x o y) y entre los términos independientes son iguales.

Distancia de un punto a una recta: