3.2 Inecuaciones

Inecuaciones

Inecuación
  • Una inecuación es una desigualdad donde aparecen variables. Como en las ecuaciones, se clasifican por el grado y por el número de incógnitas.

Resolver una inecuación es encontrar los valores de la incógnita que cumpla la relación. Su conjunto solución es el conjunto de valores que la satisfacen.
Una inecuación de primer grado o lineal  en una variable es una inecuación que se puede reducir a una de las formas siguientes:
\( ax + b > 0 \); \( ax + b < 0 \); \( ax + b ≥ 0 \); \( ax + b ≤ 0 \), con \( a, b, \in \mathbb{R}, a \neq 0 \)

Resolverlas significa determinar todos los valores reales que satisfacen la desigualdad, su solución puede ser un conjunto finito (cerrado) o infinito parcial o totalmente. Cuando dos inecuaciones tienen las mismas soluciones, se llaman equivalentes.

Propiedades
  • Si \( a < b \) y \( b < c \) entonces \( a < c \)
  • Si \( a < b \) entonces \( a + c < b + c \) y \( a - c < b – c \)
  • Si \( a < b \) y \( c > 0 \) entonces \( ac < bc \) y \( \frac{a}{c} < \frac{b}{a} \)
  • Si \( a < b \) y \( c < 0 \) entonces \( ac > bc \) y \( \frac{a}{c} > \frac{b}{a} \)

El procedimiento para resolver una inecuación lineal en una variable (el mayor exponente de la variable es uno), es similar al que se utiliza en la resolución de una ecuación. Se tiene en cuenta que:

¿Cómo resolver una inecuación lineal?
  • 1) Los sumandos se transponen de igual manera que en las ecuaciones, agrupando en un mismo miembro los términos que contienen las variables y los números en el otro.
    2) El coeficiente de la variable se transpone de igual forma que en las ecuaciones, prestando atención a que:
    - Si el coeficiente es positivo, la desigualdad no se altera.
    - Si el coeficiente es negativo, el signo de la desigualdad se invierte.


Ejemplo 1:
Resuelve  la inecuación \( 2x - 4 > 10 \)

Solución:
\( 2x - 4 > 10 \) Se transponen los términos, de forma similar a las ecuaciones \( 2x > 14 \) entonces \( x > 7 \)
¿Qué significa la solución obtenida?
En caso la solución significa que la inecuación se satisface para los valores reales mayores que 7, gráficamente significa:


\( S = \lbrace{7, \infty }\rbrace \)

Ejemplo 2:
Halla la solución de la inecuación   \( 5 - x > -6 \)
Solución:
\( 5 - x > -6 \) entonces \( -x > -11 \)
observa que la variable se encuentra  negativa, para expresarla positiva hay    que multiplicar toda la expresión por -1 y en tal caso debes aplicar la propiedad cuatro quedando \( x < 11 \)

inecuacion

Ejemplo 3
¿Para qué valores de  \( x \in \mathbb{R} \) se cumple que  \( \frac{x}{2} - 3 \geq \frac{x}{4} - 2 \) ?
Solución:
\( \frac{x}{2} - 3 \geq \frac{x}{4} - 2 \) para resolver la inecuación debemos transponer los términos que contienen variable para un miembro y los otros términos para el otro miembro, quedando \( \frac{x}{2} - \frac{x}{4} \geq 3 - 2 \) entonces \( \frac{2x - x}{4} \geq 1 \) y \( x \geq 4 \)

inecuacion
 
por  lo tanto el conjunto solución son las \( x \in \mathbb{R} \) \( x \geq 4 \) o [4; \( + \infty \)) el intervalo es cerrado en 4, por eso se coloca el corchete  en 4 y el paréntesis hacia los valores positivos infinitos.

Ejemplo 4
Resuelve la siguiente inecuación \( -6 < 2x - 4 < 2 \)

¿Qué significa está desigualdad? Significa que el valor de \( x \) debe cumplir las siguientes condiciones:

\( 2x - 4 > -6 \) y \( 2x - 4 < 2 \) es decir se deben resolver las dos inecuaciones
\( 2x - 4 > -6 \)    
\( 2x > -2 \)
\( x > -1 \)

inecuacion

\( 2x - 4 < 2:2 \)
\( x - 2 < 1 \)
\( x < 3 \)

inecuacion
Es decir que los valores de x estarán dados por la intersección de ambos conjuntos .

inecuacion

\( S =\) (-1; 3) \( S = \lbrace{x \in \mathbb{R}; -1 < x < 3}\rbrace \)