4.1 Funciones
6 Función radical
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La correspondencia que a cada número real mayor o igual que cero le asocia su raíz cuadrada aritmética se denomina función raíz cuadrada. Se puede escribir como:
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\( f= \lbrace{(x;y): y = \sqrt[]{x} , x \in \mathbb{R} , x \geq 0}\rbrace \)
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Propiedades
Domf: \( x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \)
Imf : \( y \in \mathbb{R} : y \geq 0 \)
Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.
Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)
Paridad: No es par ni impar.
Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}: x > 0 \)
Inyectividad: Es inyectiva.
Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = 0 \)
Todas las funciones de índice par tienen comportamiento
similar a la anterior, nos referimos a las funciones de ecuación \( y= \sqrt[2n]{x}, n \in \mathbb{N} , n \geq 1 \)
Sea la función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[]{x + d} + e , d \in \mathbb{R} , e \in \mathbb{R} \). Al igual que en el gráfico de la función cuadrática, el de la función raíz cuadrada de \( x \), \( y= \sqrt[]{x } \) se traslada en las direcciones del eje \( x \) y del eje \( y \).
Ejemplo:
Sea
la función \( h \) de ecuación \( h(x) = \sqrt[]{x + 2} - 1 \).
El gráfico de esta función se obtiene del gráfico de la función cuya ecuación es \( y= \sqrt[]{x} \), mediante una traslación de 2 unidades en el sentido negativo de las \( x \) y una unidad hacia abajo en la dirección del eje de \( y \).
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Propiedades
Domh: \( x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \) (Este se obtiene resolviendo la inecuación \( x+2 \geq 0 \))
Imh: \( y \in \mathbb{R}: y \geq -1 \)
Ceros: \( \sqrt[]{x + 2} - 1 = 0 \)
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\( \sqrt[]{x + 2} = 1 \)
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene \( x +2 = 1 \). Luego \( x = -1 \). Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -1 \)
Monotonía: Es monótona creciente para todo \( x \geq -2 \)
Inyectividad: Es inyectiva.
Paridad: No es par, ni impar.
Signos: Para \( x \geq -1 \) es positiva y para \( -2 \leq x < -1 \) es negativa.
Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = -1 \) . -
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La correspondencia que a cada número real mayor o igual que cero le asocia su raíz cuadrada aritmética se denomina función raíz cuadrada. Se puede escribir como:
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\( f= \lbrace{(x;y): y = \sqrt[]{x}; x \in \mathbb{R} ; x \geq 0}\rbrace \)
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Propiedades
Domf: \( x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \)
Imf : \( y \in \mathbb{R} : y \geq 0 \)
Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.
Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)
Paridad: No es par ni impar.
Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}: x > 0 \)
Inyectividad: Es inyectiva.
Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = 0 \)
Todas las funciones de índice par tienen comportamiento
similar a la anterior, nos referimos a las funciones de ecuación \( y= \sqrt[2n]{x}, n \in \mathbb{N} , n \geq 1 \)
Sea la función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[]{x + d} + e; d \in \mathbb{R}; e \in \mathbb{R} \). Al igual que en el gráfico de la función cuadrática, el de la función raíz cuadrada de \( x \), \( y= \sqrt[]{x } \) se traslada en las direcciones del eje \( x \) y del eje \( y \).
Ejemplo:
Sea
la función \( h \) de ecuación \( h(x) = \sqrt[]{x + 2} - 1 \).
El gráfico de esta función se obtiene del gráfico de la función cuya ecuación es \( y= \sqrt[]{x} \), mediante una traslación de 2 unidades en el sentido negativo de las \( x \) y una unidad hacia abajo en la dirección del eje de \( y \).
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Propiedades
Domh: \( x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \) (Este se obtiene resolviendo la inecuación \( x+2 \geq 0 \))
Imh: \( y \in \mathbb{R}: y \geq -1 \)
Ceros: \( \sqrt[]{x + 2} - 1 = 0 \)
-
\( \sqrt[]{x + 2} = 1 \)
Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene \( x +2 = 1 \). Luego \( x = -1 \). Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -1 \)
Monotonía: Es monótona creciente para todo \( x \geq -2 \)
Inyectividad: Es inyectiva.
Paridad: No es par, ni impar.
Signos: Para \( x \geq -1 \) es positiva y para \( -2 \leq x < -1 \) es negativa.
Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = -1 \) .
La función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) (función raíz cúbica)
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La correspondencia que a cada número real le asocia su raíz cúbica se denomina función raíz cúbica. Se puede escribir como:
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\( f= \lbrace{(x;y): y= \sqrt[3]{x}; x \in \mathbb{R} }\rbrace \).
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Propiedades
Domf: \( x \in \mathbb{R} \)
Imf: \( y \in \mathbb{R} \)
Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.
Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)
Paridad: Es impar
Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}; x > 0 \) y es negativa para todo \( x < 0 \)
Inyectividad: Es inyectiva.
Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni valor mínimo
La función f de ecuación \( f(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 2; d \in \mathbb{R}; e \in \mathbb{R} \)
Al
igual
que en las funciones cuadráticas, el gráfico de la función raíz
cúbica de \( x \) \( (y\ \sqrt[3]{x} ) \) se traslada en las
direcciones del eje \( x \) y del eje \( y \).
Ejemplo:
Sea
la función \( h \) de ecuación \( h(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 2 \). El gráfico de esta función se obtiene
del gráfico de la función cuya ecuación es \( y= \sqrt[3]{x} \)
mediante una traslación de una unidad
en el sentido positivo de las \( x \) y dos hacia arriba en la dirección del eje \( y \).
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Propiedades
Domh: \( x \in \mathbb{R} \)
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Imh: \( y \in \mathbb{R} \)
Ceros:
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\( \sqrt[3]{x - 1} + 2 = 0 \)
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\( \sqrt[3]{x - 1} = -2 \). Elevando al cubo ambos miembros se obtiene:
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\( x -1 = -8 \) Luego \( x=-7 \)
Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -7 \)
Monotonía: Es monótona creciente en todo su dominio
Inyectividad: Es inyectiva
Paridad: No es par ni impar
Signos: Para \( x > -7 \) es positiva y para \( x < -7 \)es negativa.
Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni mínimo