¿Cómo representamos gráficamente una función cuadrática de la forma \( y = ax^2 \), con \( a \neq 0 \)?

Ya conoces que las ecuaciones de funciones cuadráticas pueden tener las siguientes formas:

• \( y = ax^2 \)
  

• \( y=ax^2+bx \)

• \( y=ax^2+c \)

• \( y=ax^2+bx+c \)        

Para estudiar su representación gráfica vamos a comenzar por la más sencilla  \( y=ax^2, (a \neq 0 ) \) , considerando los casos \( a \) = 1 y \( a \) = – 1.        

Ejemplo:

Representa en un sistema de coordenadas rectangulares las siguientes funciones dadas por sus ecuaciones:

                     \( y = x^2 \)                     \( y = -x^2 \)

Para la función: \( y = x^2 \):                    

El gráfico de esta función se obtiene representando en el sistema de coordenadas rectangulares todos los puntos cuyas coordenadas están determinadas por la ecuación \( y = x^2 \), como la variable \( x \) puede tomar cualquier valor real, es imposible representarlos todos, por lo que vamos a calcular las coordenadas de algunos sus puntos.

Puedes confeccionar la siguiente tabla:

• 

• Ahora estos punto se representan en un sistema de coordenadas rectangulares.
  

  (– 2 ; 4); (– 1,5 ; 2,25);

  (– 1 ; 1); (– 0,5 ; 0,25); 

  (0 ; 0); (0,5 ; 0,25);

  (1 ; 1); (1,5 ; 2,25) y

  (2 ; 4).

Observa que los puntos representados no quedan contenidos en una línea recta, ni en una poligonal abierta, por lo que la representación gráfica de esta función es una línea curva que se obtiene uniendo los puntos representados como se ilustra a continuación:

• 
• El gráfico de esta función cumple las siguientes propiedades:
  
  • El gráfico es una parábola que es simétrica respecto al eje de las ordenadas.
    

  • Tiene un punto situado sobre el eje \( x \), que es el de menor ordenada de todos, en este caso es el vértice de la parábola.

  • Está representada en el semiplano superior.

  •  La parábola abre hacia arriba.

Para la función \( h(x) = – x^2 \) confeccionas otra tabla como la anterior:

Representas los pares ordenados obtenidos en el sistema de coordenadas y los unes como en el caso anterior.
 

• 
• Como puedes apreciar para esta curva se cumple que:
  
  • El gráfico es una parábola que es simétrica respecto al eje de las ordenadas.
  • Tiene un punto situado sobre el eje \( x \), que es el de mayor ordenada de todos, en este caso es el vértice de la parábola.
  • Está representada en el semiplano inferior.
  • La parábola abre hacia abajo.
  
  

Esta curva que se obtiene al representar estas funciones cuadráticas y que tienen las características indicadas, se denomina parábola y como ya conoces, mientras más puntos representes de ella, más te aproximas a la forma de dicho gráfico.