Ya se estudiaron las funciones cuadráticas cuyas ecuaciones tienen de la forma: \( y = ax^2 \) ; \( y = ax^2 + bx\) ;  \( y = ax^2+c \)  y   \( y = ax^2 + bx = c \), en las cuales se utilizó el mismo procedimiento para su representación gráfica.

Sin embargo, es bueno que conozcas, que las parábolas correspondientes a las funciones cuyas ecuaciones tienen las formas antes descritas, se pueden obtener a partir de la parábola cuya ecuación es:  \( y = x^2 \). 

Para analizar esta situación, se pueden representar estas funciones en un mismo sistemas de coordenadas:

\( f(x) = x^2 – 2x – 8 \)  ; \( g(x) = x^2 – 2x + 1 \)  y  \( t(x) = x^2 – 9 \)   

   

Observa que:

1. La función \( g \) tiene la forma \( y = (x + d)^2 \), donde \( d = – 1 \). En este caso la gráfica de \( y = x^2 \)se trasladó una unidad a la derecha en la dirección del eje \( x \), para obtener la gráfica de \( g \)
De manera general, los gráficos de las funciones de la forma \( y = (x + d)^2 \) se obtienen por una traslación del gráfico de \( y=x^2 \) en la dirección del eje \( x \). Si \( d < 0 \) la traslación es hacia la derecha y si \( d > 0 \), hacia la izquierda.

2. La función \( t \) tiene la forma \( y = x^2 + e \), donde \( e = – 9 \). En este caso la gráfica de \( y = x^2 \) se trasladó en la dirección del eje \( y \), nueve unidades hacia abajo para obtener la gráfica de \( t \). De manera general, los gráficos de las funciones de la forma \( y = x^2 + e \) se obtienen por una traslación del gráfico de \( y = x^2 \) en la dirección del eje \( y \). Si \( e > 0 \) la traslación es hacia arriba y si \( e < 0 \), hacia abajo.
Note que hemos utilizado como parámetro la letra \( e \) en lugar de la letra \( c \).

3. La función \( f \) tiene la forma \( y = (x + d)^2 + e \), donde \( e = – 1 \) y \( e = – 9 \). En este caso la gráfica de \( y = x^2 \) se trasladó en la dirección del eje \( x \), una unidad a la derecha y en la dirección del eje \( y \), nueve unidades hacia abajo para obtener el gráfico de \( f \). De manera general, los gráficos de las funciones de la forma \( y = (x + d)^2+e \) se obtienen aplicándole a la parábola \( y = x^2 \) una composición de dos traslaciones en la dirección de los ejes de coordenadas, teniendo en cuenta los casos anteriores.
Como puedes apreciar, las ecuaciones de las funciones cuadráticas pueden estar expresadas en la forma \( y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) \) o \( y = (x + d)^2 + e \), donde se pueden observar las traslaciones analizadas anteriormente.

Representación gráfica

• Ya sabes cómo representar las funciones del tipo \( y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) \) y señalar sus propiedades, pero para trabajar la función cuadrática expresada en la forma \( y = (x + d)^2 + e \) es bueno que tengas en cuenta que:
  
  • El vértice de la parábola no es necesario calcularlo, se obtiene atendiendo a las traslaciones, de la siguiente forma V(– d ; e), o sea, la abscisa es el opuesto del parámetro \( d \), mientras la ordenada coincide con el valor del parámetro \( e \).
  • Para calcular los ceros puedes expresar la ecuación en la forma:
    \( y = ax2 + bx + c \) efectuando el cuadrado del binomio y reduciendo los términos semejantes o despejando la  \( x \) directamente en la ecuación \( y = (x + d)^2 + e \). También puedes, si la expresión es una diferencia de dos cuadrados, factorizarla conoces.

A continuación observa cómo aplicar estas recomendaciones para la función cuadrática \( y = (x – 2)^2 – 4 \): 

Por ejemplo, como \( d = – 2 \) se toma su opuesto y \( e = – 4 \), con su signo. Luego, el vértice de la parábola de esta función es V(2 ; – 4).

Para hallar los ceros puedes utilizar cualquiera de las siguientes vías:

Ya estarás en condiciones de representarla gráficamente a partir de las coordenadas del vértice y los ceros de la función.