Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra.

Ejemplos:

1) El área A de un círculo depende de su radio \( r \). La regla que relaciona \( r \) con \( A \) se expresa con la ecuación \( A = \Pi \cdot r^2 \). Para cada número positivo \( r \) existe asociado un valor de \( A \) y decimos que \( A \) es función de \( r \).

2) La población humana del mundo, \( P \), depende del tiempo \( t \). Para cada valor del tiempo t existe un valor de \( P \) correspondiente, y decimos que \( P \) es una función de \( t \).

3) La aceleración vertical \( a \) del suelo, según datos medidos por la medición de un sismógrafo durante un terremoto, depende del tiempo \( t \). Para un valor dado de \( t \), la gráfica proporciona un valor correspondiente de \( a \).

Como conoces, la función exponencial se presenta con frecuencia en modelos matemáticos de la naturaleza y la sociedad, ejemplo, en la descripción del crecimiento de la población y la desintegración radioactiva.

Ejemplos:

1) Consideremos una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Supongamos que haciendo un muestreo de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica a cada hora. Si, en el instante \( t \), la cantidad de bacterias es \( p(t) \), donde se mide en horas, y la población inicial es \( p(0) = 1000 \), entonces tenemos:

     \( p(1) = 2p(0) = 2 x 1000 \)

     \( p(2) = 2p(1) = 22 x 1000 \)

     \( p(3) = 2p(2) = 23 x 1000 \) 

      .           .            .

      .           .            .

\( p(t) = 2p(t-1) = 2^t x 1000 \) o sea  la función que determina la población de bacterias en un tiempo \( t \) será: \( p(t) = 1000 \cdot 2^t \)