Función radical

•         La correspondencia que a cada número real mayor o igual que cero le asocia su raíz cuadrada aritmética se denomina función raíz cuadrada. Se puede escribir como:
  

•          \( f= \lbrace{(x;y): y = \sqrt[]{x} , x \in \mathbb{R} , x \geq 0}\rbrace \)
  

• 
  

• Propiedades

  Domf:  \( x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \)

  Imf :  \( y \in \mathbb{R} : y \geq 0 \)  

  Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.

  Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)

  Paridad: No es par ni impar.

  Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}: x > 0 \)

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es  \( y_0 = 0 \)   

Todas las funciones de índice par tienen comportamiento similar a la anterior, nos referimos a las funciones de ecuación \( y= \sqrt[2n]{x}, n \in \mathbb{N} , n \geq 1 \)

Sea la función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[]{x + d} + e , d \in \mathbb{R} , e \in \mathbb{R} \). Al igual que en el gráfico de la función cuadrática, el de la  función raíz cuadrada de \( x \),   \( y= \sqrt[]{x } \)  se traslada en las direcciones del eje \( x \) y del eje \( y \).

Ejemplo:
Sea la función \( h \) de ecuación  \( h(x) = \sqrt[]{x + 2} - 1 \).
El gráfico de esta función se obtiene del gráfico de la función  cuya ecuación es  \( y= \sqrt[]{x} \), mediante una traslación de 2 unidades en el sentido negativo de las \( x \) y una unidad hacia abajo en la dirección del eje de \( y \).

• 
  

• Propiedades

   Domh: \( x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \)   (Este se obtiene resolviendo la inecuación \( x+2 \geq 0 \))

   Imh: \( y \in \mathbb{R}: y \geq -1 \)

  Ceros: \( \sqrt[]{x + 2} - 1 = 0 \)  
  

•           \( \sqrt[]{x + 2} = 1 \)     

  Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene \( x +2 = 1 \). Luego \( x = -1 \). Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -1 \)  

  Monotonía: Es monótona creciente para todo \( x \geq -2 \)
  

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Paridad: No es par, ni impar.

  Signos: Para \( x \geq -1 \) es positiva y para \( -2 \leq x < -1 \) es negativa.

  Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = -1 \) .
•  
  

Función raíz cuadrada

•         La correspondencia que a cada número real mayor o igual que cero le asocia su raíz cuadrada aritmética se denomina función raíz cuadrada. Se puede escribir como:
  

•         \( f= \lbrace{(x;y): y = \sqrt[]{x}; x \in \mathbb{R} ; x \geq 0}\rbrace \)

• 
  

• Propiedades

  Domf:  \( x \in \mathbb{R} : x \geq 0 \)

  Imf :     \( y \in \mathbb{R} : y \geq 0 \)

  Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.

  Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)

  Paridad: No es par ni impar.

  Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}: x > 0 \)

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es  \( y_0 = 0 \)   

Todas las funciones de índice par tienen comportamiento similar a la anterior, nos referimos a las funciones de ecuación \( y= \sqrt[2n]{x}, n \in \mathbb{N} , n \geq 1 \)

Sea la función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[]{x + d} + e; d \in \mathbb{R}; e \in \mathbb{R} \). Al igual que en el gráfico de la función cuadrática, el de la  función raíz cuadrada de \( x \), \( y= \sqrt[]{x } \)  se traslada en las direcciones del eje \( x \) y del eje \( y \).

Ejemplo:
Sea la función \( h \) de ecuación  \( h(x) = \sqrt[]{x + 2} - 1 \).
El gráfico de esta función se obtiene del gráfico de la función  cuya ecuación es  \( y= \sqrt[]{x} \), mediante una traslación de 2 unidades en el sentido negativo de las \( x \) y una unidad hacia abajo en la dirección del eje de \( y \).

• 
  

• Propiedades

  Domh: \( x \in \mathbb{R} : x \geq -2 \)   (Este se obtiene resolviendo la inecuación \( x+2 \geq 0 \))

  Imh: \( y \in \mathbb{R}: y \geq -1 \)

  Ceros: \( \sqrt[]{x + 2} - 1 = 0 \)  
  

•           \( \sqrt[]{x + 2} = 1 \)     

  Elevando ambos miembros al cuadrado se obtiene \( x +2 = 1 \). Luego \( x = -1 \). Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -1 \)  

  Monotonía: Es monótona creciente para todo \( x \geq -2 \)
  

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Paridad: No es par, ni impar.

  Signos: Para \( x \geq -1 \) es positiva y para \( -2 \leq x < -1 \) es negativa.

  Valor máximo o mínimo: Tiene valor mínimo y es \( y_0 = -1 \) .
  

La función \( f \) de ecuación \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) (función raíz cúbica)

Función raíz cúbica

• La correspondencia que a cada número real le asocia su raíz cúbica  se denomina función raíz cúbica. Se puede escribir como:

• \( f= \lbrace{(x;y): y= \sqrt[3]{x}; x \in \mathbb{R} }\rbrace \).

• 

• Propiedades

  Domf: \( x \in \mathbb{R} \)

  Imf:  \( y \in \mathbb{R} \) 

  Monotonía: Monótona creciente en todo su dominio.

  Ceros: Tiene un cero y es \( x_0 = 0 \)   

  Paridad:  Es  impar

  Signo: Es positiva para todo \( x \in \mathbb{R}; x > 0 \) y es negativa para todo \( x < 0 \)
  

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni  valor mínimo     

La función f de ecuación \( f(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 2; d \in \mathbb{R}; e \in \mathbb{R} \)

Al igual que en las funciones cuadráticas, el gráfico de la  función raíz cúbica  de \( x \) \( (y\ \sqrt[3]{x} ) \) se traslada en las direcciones del eje \( x \)  y del eje \( y \).
Ejemplo:
Sea la función \( h \) de ecuación  \( h(x) = \sqrt[3]{x - 1} + 2 \). El gráfico de esta función se obtiene del gráfico  de la función cuya ecuación es \( y= \sqrt[3]{x} \)  mediante una traslación de una unidad en el sentido positivo de las \( x \) y dos hacia arriba en la dirección del  eje \( y \).

• 
  

• Propiedades

  Domh: \( x \in \mathbb{R} \)
  

• Imh: \( y \in \mathbb{R} \)
  

  Ceros:
  

• \( \sqrt[3]{x - 1} + 2 = 0 \)   
  

• \( \sqrt[3]{x - 1} = -2 \).  Elevando al cubo ambos miembros se obtiene:
  

• \( x -1 = -8 \)   Luego \( x=-7 \)     
  

  Por tanto el cero de la función es \( x_0 = -7 \) 

  Monotonía: Es monótona creciente en todo su dominio   

  Inyectividad: Es inyectiva

  Paridad: No es par ni impar

  Signos: Para  \( x > -7 \) es positiva y para \( x < -7 \)es negativa.

  Valor máximo o mínimo:  No tiene valor máximo ni mínimo   
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