Función logarítmica

• La correspondencia que a cada número real \( x \) mayor que cero le asocia \( log_a x \) se denomina función logarítmica. Se puede escribir como: 
  

• \( f = \lbrace{(x;y): y= log_a x , \hspace{3mm} x \in \mathbb{R}, x > 0, a > 0, a \neq 1}\rbrace \)
  

Dado que en estas funciones \( a > 0 \), es necesario analizar su comportamiento cuando \( a > 1 \) y cuando \( 0 < a < 1 \) lo cual influye en su representación gráfica y en la monotonía.

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• Propiedades

  Domf: \( x \in \mathbb{R}, x> 0 \)

  Imf :  \( y \in \mathbb{R} \)

  Monotonía: Monótona  creciente en todo  su dominio

  Ceros:   \( x_0 = 1 \)  

  Paridad: No es par ni impar

  Signo: Es positiva para todo en todo \( x > 1 \) y negativa para \( 0 < x < 1 \)
  

  Inyectividad: Es inyectiva.

  Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni valor mínimo     

La función \( f(x)= log_a x \)  con \( 0 < a < 1 \)

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• Propiedades

  Domf: \( x \in \mathbb{R}, x > 0 \)

  Imf : \( y \in\mathbb{R} \) 

  Monotonía: Monótona decreciente en todo su dominio

  Ceros: \( x_0 = 1 \)  

  Paridad: No es par ni impar

  Signo: Es negativa para todo en todo \( x > 1 \) y positiva para \( 0 < x < 1 \)
  

  Inyectividad: Es inyectiva.

• Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni valor mínimo     
  

La función \( f \) de ecuación \( f(x) = log_a (x +d) + e \) con \( d \in \mathbb{R}, e \in \mathbb{R} \)

Al igual que en el gráfico de las funciones cuadráticas, el gráfico de la  función exponencial  se traslada en las direcciones del eje \( x \)  y del eje \( y \).

Sea la función h de ecuación  \( h(x) = log_2 (x -3) + 1 \). El gráfico de esta función se obtiene del gráfico  de la función cuya ecuación es \( y = log_2 x \)  mediante una traslación de 3 unidades  en el sentido positivo de las \( x \) y una unidad hacia arriba en la dirección del eje \( y \).

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• Propiedades

  Domh: \( x \in \mathbb{R} , x > 3 \)
  

• Imh: \( y \in \mathbb{R} \) 

  Ceros:   \( log_2 (x -3) + 1=0 \)

              \( log_2 (x -3) =-1 \)
  

              \( 2^{-1}= x-3 \)     \( 0,5 = x-3 \)          

  Luego \( x = 3+0,5 \) y \( x=3,5 \)
  

  Por tanto el cero de la función es \( x_0 = 3,5 \)

  Monotonía: Es monótona creciente en todo su dominio

  Inyectividad: Es inyectiva

  Paridad: No es par ni impar

  Signos: Para \( x > 3,5 \) es positiva y para \( 3, 5 < x < 3 \) es negativa.

  Valor máximo o mínimo: No tiene valor máximo ni valor mínimo.