5.4 Geometría analítica de la recta
Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos del plano \( P_1 (x_1; y_1 ) \) y \( P_2 (x_2; y_2 ) \), la distancia entre ellos esta dada por la fórmula
\( d (P_1; P_2 ) = \sqrt[]{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \)
Pendiente de una recta: Sean \( P_1 (x_1; y_1 ) \) y \( P_2 (x_2; y_2 ) \), dos puntos de una recta no paralela al eje de ordenadas, la pendiente , es el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas.
Sean las rectas \( r_1 \)
y \( r_2 \)
de pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \)
respectivamente, se cumple que:
a) si y solo si \( m_1 \) = \( m_2 \)
b) si y solo si \( m_1 \) \( m_2 \) = - 1.
Sea AB un segmento cuyos extremos
tienen coordenadas A(xA; yA), B( xB; yB
), entonces las coordenadas del punto medio M( xM
; YM
) ON de AB son: \( x_m = \frac{x_a+x_b}{2}, y_m= \frac{y_a+y_b}{2} \).
Aplicaciones geométricas de esta fórmula.
Ejemplo:
a) Dado el triángulo cuyos vértices son los puntos A (2;-1), B(3;5) y C(-3;3), calcula la longitud de la mediana relativa al lado BC.
b) Prueba que las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son D (-1;-1); E (5; 0), F (3; 2) y G (-3; 1). ¿Qué tipo de cuadrilátero es?
Resolución:
a) Para calcular la longitud de la mediana AD, debemos conocer las coordenadas del punto medio (D) del lado BC. Luego:
\( x_d = \frac{x_c+x_b}{2}, y_d = \frac{y_c+y_b}{2}, (x_d,y_d) = (\frac{0}{2}:\frac{8}{2}) = (0;4) \)
por tanto D (0; 4)
\( d(D; A) = \sqrt[]{(0-2)^2+(4-(-1))^2} = \sqrt[]{4+25} = \sqrt[]{29} = 5,39 \)
b) Hallemos los puntos medios M y N de las diagonales DF y EG respectivamente
(xM; yM ) = (1; ½) luego M(1;1/2)
(xN; yN
) = (1; ½) luego N(1;1/2) por tanto M y N coinciden y las diagonales se cortan en su punto medio, luego el cuadrilátero es un paralelogramo.
- El lugar geométrico de la ecuación Ax + By + C = 0 con A≠ 0 ó B≠ 0 es una recta.
En la ecuación Ax + By + C = 0 se tiene que:
Si A = 0, se trata de una recta paralela al eje x, y = - C/B.
En el caso B = 0, se trata de una recta paralela al eje y, x = - C/A.( en este caso no es una función lineal).
En el caso C = 0 la ecuación se reduce a y = -A/Bx o y = mx, la cual es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Para hallar la ecuación de una recta podemos seguir los pasos siguientes:
1.- Si se conoce un punto y la pendiente:
- Consideramos un punto fijo P(x;y) cualquiera de la recta.
- Sustituimos las coordenadas de P y del punto conocido al igual que el valor de la pendiente en la formula de la misma.
- Efectuamos y expresamos la recta en la forma Ax + By + C = 0 o y = mx + n.
2.- Si conocemos dos puntos hay dos procedimientos posibles a seguir:
- Hallamos el valor de la pendiente y seguimos el procedimiento anterior utilizando uno de los puntos dados.
- Sustituimos las coordenadas de los puntos en la ecuación y = mx + n, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos variables(m y n) y lo resolvemos para encontrar los valores de m y n, expresamos en la forma Ax + By + C = 0 o y = mx + n.
Punto de intersección de dos rectas:
Para hallar el punto de intersección de dos rectas se forma un sistema de ecuaciones con las ecuaciones de cada una de las rectas dadas, se resuelve el sistema y:
1) Si tiene una solución los valores que se obtienen para cada una de las variables (x o y) son las coordenadas del punto de intersección (x;y).
2) Si no tiene solución es porque las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales y la razón entre los coeficientes de las mismas variables (x o y) y entre los términos independientes son diferentes.
3) Si tiene infinitas soluciones es porque las rectas son coincidentes, sus pendientes son iguales y la razón entre los coeficientes de las mismas variables (x o y) y entre los términos independientes son iguales.
Distancia de un punto a una recta:
La distancia de un punto P(x1 ; y1) a la recta r de ecuación Ax + By + C = 0 se denota d(P; r) y se calcula:\( d(P,r) = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt[]{A^2+B^2} } \)