Potenciación

• Si \( a \) es un número real cualquiera y \( n \) un número natural (diferente de cero), entonces:

  \( a^n = \underbrace{ a \cdot a \cdot a \cdot a ... a} \\ \hspace{3mm} (n \hspace{2mm} factores \hspace{2mm} a) \)                                     
  

Si \( n = 1 \), entonces \( a^1 = a \).
Ampliación del concepto de potenciación con exponente cero, un número negativo y un número fraccionario.
Para todo a ≠ 0 se cumple que:

• \( a^0 = 1 \)
• \( a^{-1} = \frac{1}{a} \)
• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) con \( n \in \mathbb{N} \) y \( n > 0 \)
• \( a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \) con \( p, q \in \mathbb{N} \) y \( q ≠ 0 \)

Propiedades:

Para \( a, b \in \mathbb{R} , a≠ 0, b ≠ 0 \) y \( m, n \in \mathbb{Q} \)

• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b ) ^n \)
• \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• \( a^n : b^n = ( \frac{a}{b} )^n \)
• \( (a^n)^m = a^{nm} \)
  

Otras propiedades:

• Si  \( a^x = a^y \), entonces \( x = y \hspace{3mm} ( a ≠ 1) \)
  

• Si  \( a > 1 \)  y \( x < y \), entonces \( a^x < a^y \)

• Si \( 0 < a < 1 \) y \( x < y \), entonces \( a^x > a^y \)
  

• Si  \( a > 1 \) y \( a^x < a^y \), entonces \( x < y \)

• Si \( 0 < a < 1 \) y \( a^x > a^y \) , entonces \( x < y \)

  a) 3^-1 = \( \frac{1}{3} \) 

  b) 5⁰ = 1

  c) 3^-2 = \( \frac{1}{9} \)

  d) 2³ . 2² = 2⁵ = 32

  e) 3² . 2² = 6² = 36

  f) 6⁴ : 6² = 6² = 36

  g) (2³ )² = 2⁶ = 64 

  h) \( (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2} \)

  i) \( 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt[]{4} = 2 \)

  j) \( 7^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{7^2} = \sqrt[5]{49} \)

  k) \( ( \frac{1}{3})^{- \frac{1}{2} } = [(\frac{1}{3})^{-1}]^{\frac{1}{2}} = 3^{ \frac{1}{2}} = \sqrt[]{3} \)