3.1 Ecuaciones

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado en una variable

  • Las ecuaciones cuadráticas en una variable son aquellas ecuaciones en una variable, en las cuales el mayor grado al cual aparece la variable es 2. Ellas se  reducen a la forma
    \( ax^2 + bx + c = 0 \hspace{3mm} (a \in \mathbb{R} , b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R} , a \neq 0) \)


Resolver una ecuación cuadrática o de segundo grado consiste en determinar los valores para los cuales se satisface la ecuación anterior. Esos valores son las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática.


Para resolver una ecuación cuadrática, se pueden realizar los siguientes pasos
    • Realizar, si es necesario, los cálculos en lo que se incluye la eliminación de signos de agrupamiento.
    • Se reducen, si existen, los términos semejantes.
    • Se transponen todos los términos para un solo miembro y se iguala a cero.
    • Al llegar a la expresión de segundo grado igualada a cero (\( ax^2 + bx + c = 0 \)), se factoriza y se iguala a cero cada factor. 
    • En el caso que no se pueda factorizar, se calcula el discriminante: \( D = b^2 – 4ac \), de esta forma:
    - Si \( D > 0 \), la ecuación tiene dos soluciones reales: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt[]{D} }{2a} \)
     - Si \( D = 0 \), la ecuación tiene una única solución, que en este caso es una raíz doble o una raíz de multiplicidad 2: \( x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \)
    - Si \( D < 0 \), la ecuación no tiene soluciones reales. 
    • Se comprueba para determinar si los valores hallados satisfacen la ecuación.
    • Se escriben las soluciones.

Ejemplo:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) \( x( 2x + 5) = x ( x – 3) \)

b) \( 2x^2 - 6x - x ( x + 6) = - 36 \)

c) \( 2x^3 – 2x( x + 4)^2 = 6x^2 -12x + 40 \)

d) \( 2x( x – 1) + ( x – 1)^2 = 12 \)


Solución:

a) \( x( 2x + 5) = x ( x – 3) \) eliminación de paréntesis

\( 2x^2 + 5x = x^2 – 3x \) transponiendo para un mismo miembro

\( 2x^2 + 5x - x^2 + 3x = 0 \) reduciendo términos semejantes

\( x^2 + 8x = 0 \) factorizando

\( x(x + 8) = 0 \) igualando a cero los factores

\( x = 0 \) o  \( x + 8 = 0 \)

\( x = 0 \) o  \( x = -8 \)

Comprobando:


para \( x = 0 \)
 para \( x = -8 \)
MI:\( 0 (2 \cdot 0 + 5 ) = 0 \cdot 5 = 0 \)
 MI: \( -8 ( 2 \cdot (-8) + 5) = -8 \cdot (-11)=88\)
MD: \( 0( 0 – 3) = 0 \cdot (-3) = 0 \)
 MD: \( -8( -8 – 3) = - 8 \cdot (-11) = 88 \)
MI = MD
 MI = MD

\( S = \lbrace{0,- 8 }\rbrace \)

b) \( 2x^2 – 6x – x ( x + 6) = - 36 \)

\( 2x^2 – 6x –x^2 – 6x = - 36 \) eliminación de paréntesis

\( x^2 – 12x + 36 = 0 \) transponiendo para un mismo miembro y reduciendo términos semejantes

\( ( x – 6 )^2 = 0 \) factorizando

\( x = 6 \) (raíz doble) igualando a cero.

Comprobación:

Para \( x = 6 \)

MI: \( 2 \cdot 6^2 \hspace{1mm} – \hspace{1mm} 6 \cdot 6 \hspace{1mm} – \hspace{1mm} 6 (6 + 6) = 72 \hspace{1mm} – \hspace{1mm} 36 \hspace{1mm} – 72 = - 36 \)

MD: -36

MI = MD

\( S = \lbrace{6 }\rbrace \)


c) \( 2x^3 – 2x( x + 4)^2 = 6x^2 -12x + 40 \) desarrollando el binomio al cuadrado

\( 2x^3 – 2x( x^2 + 8x + 16) = 6x^2 -12x + 40 \) realizando el producto indicado

\( 2x^3 – 2x^3 – 16x^2 - 32x = 6x^2 -12x + 40 \) transponiendo para un mismo miembro y reduciendo términos semejantes

\( - 22x^2 – 20x – 40 = 0 \) dividiendo por -2 ambos miembros

\( 11x^2 + 10x + 20 = 0 \)

\( D = b^2 – 4ac \\ = 10^2 – 4 .11. 20 \\ = 100 – 880 \\= - 780 < 0 \)

No tiene soluciones

\( S = \phi \)


d) \( 2x( x – 1) + ( x – 1)^2 = 12 \)

\( 2x^2 – 2x + x^2 – 2x + 1 = 12 \)

\( 3x^2 – 4x – 11 = 0 \)

\( D = b^2 – 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (- 11) = 16 + 132 = 148 > 0 \) tiene dos soluciones

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt[]{D} }{2a} \\= \frac{4 \pm \sqrt[]{148} }{6} \\ = \frac{2 \pm \sqrt[]{37} }{3} \)
\( S = \lbrace{ \frac{2 + \sqrt[]{37} }{3}; \hspace{3mm} \frac{2 - \sqrt[]{37} }{3} }\rbrace \)

Toda ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 +bx +c = 0 \)  (con \( a, b, c \in \mathbb{R}; a \neq 0 \)) se puede reducir, dividiendo ambos miembros por \( a \), a la forma \( x^2 + px + q = 0 \). En este caso se satisface el siguiente teorema.

Teorema de Vieta
  • El Si \( x_1 \) y \( x_2 \) son las raíces o soluciones de una ecuación cuadrática de la forma \( x^2 + px + q = 0 \), entonces \( x_1 + x_2 = - \hspace{1mm} p \) y \( x_1 \cdot x_2 = q \)

Ejemplo:
Sea la ecuación:
\( 5x^2 + 25x -70 = 0 \)
\( x^2 + 5x -14 = 0 \hspace{3mm} p = 5, q = -14 \)
\( (x-2)(x+7) =0 \)
\( x_1 = 2 \) y \( x_2 = -7 \)
\( x_1 + x_2 = 2-7=-5 = -p \)
\( x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-7) = -14 = q \)

En algunos ejercicios aparecen ecuaciones que pueden reducirse mediante transformaciones a las ecuaciones cuadráticas, estas ecuaciones tienen la forma

\( ax^{2n} + bx^n +c = 0 \)      (\( a, b, c \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, a \neq 0 \))

Estas pueden resolverse haciendo el cambio \( y = x^n \), y de esta forma queda determinada la ecuación \( ay^2 + by + c = 0 \), que se resuelve utilizando el algoritmo que vimos con anterioridad, luego se buscan los valores de la variable \( x \).

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación \( 4y^4 – 4y^2 + 1 = 0 \)

Resolución:

Este tipo de ecuación se denomina ecuación bicuadrática y se transforma en una cuadrática mediante el cambio de variab

le \( y^2 = z \). De este modo, obtenemos \( 4z^2 – 4z + 1 = 0\)

Transformándola en \( (2z-1)^2 \) resulta la raíz doble \( z_{1,2} = \frac{1}{2} \)

Haciendo el cambio de variable en sentido inverso, resulta:

\( y^2 = z_1 \), por tanto \( y_{1,2} = \pm \frac{ \sqrt[]{2} }{2} \)

Análogamente, para \( y^2 = z_2 \), resulta \( y_{3,4} = \pm \frac{\sqrt[]{2}}{2} \)