3.1 Ecuaciones

Ecuaciones con radicales

Ecuaciones con radicales
  • Una ecuación con radicales es aquella que tiene la variable bajo el signo del radical. Cuando se va a resolver una ecuación de este tipo es necesario transformarla en otra en que la variable no aparezca en el radicando.

En esta sección se estudiarán las ecuaciones con radicales de índice 2, las cuales se pueden resolver siguiendo los pasos siguientes:
Pasos para resolver ecuaciones con radicales de índice 2
  • 1) Aislar el radical
    2) Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación
    3) Resolver la ecuación obtenida
    4) Comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para desechar las que no la satisfacen la ecuación (raíces extrañas)

En ocasiones se presentan ecuaciones con radicales en las cuales es necesario para su solución más de una elevación al cuadrado. Para resolverlas se siguen los pasos señalados anteriormente, teniendo en cuenta que hay que realizar al menos dos elevaciones al cuadrado.

Ejemplo:
Resolver las ecuaciones siguientes:

a) \( x+ \sqrt[]{x-2} = 4 \)

Respuesta:

\( \sqrt[]{x-2} = 4 - x \)

\( (\sqrt[]{x-2})^2 = ( 4 - x)^2 \)

\( x \hspace{1mm}–\hspace{1mm} 2 = 16 \hspace{2mm} – \hspace{1mm} 8x + x^2 \)

\( x-2 -16+8x-x^2=0 \)

\( -x^2+9x-18=0 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

(x – 6)(x – 3) = 0

\( x-6=0 \hspace{10mm} x-3=0 \)

\( \hspace{3mm} x_1 = 6 \hspace{3mm} x_2 = 3 \) 

Comprobación:

\( x = 3 \)

       \( x = 6 \)

MI: \( 3 + \sqrt[]{3-2}=3+1=4 \)

       MI: \( 6 + \sqrt[]{6-2} = 6 + \sqrt[]{4} = 6 +2 = 8 \)

MD: 4

       MD: 4

MI = MD

       MI \( \neq \) MD
\( S = \lbrace{3}\rbrace \)

b) \( \sqrt[]{2y+1} + \sqrt[]{2y+3} = 1 \)

Respuesta:
\( \sqrt[]{2y+1} = 1 - \sqrt[]{2y+3} \)
Elevando al cuadrado ambos miembros.
\( ( \sqrt[]{2y+1} )^2 = ( 1- \sqrt[]{2y+3} )^2 \)
\( 2y+1 = 1 - 2 \sqrt[]{2y+3} + 2y + 3 \) reduciendo términos semejantes
\( 2 \sqrt[]{2y+3} = 3 \) elevando al cuadrado ambos miembros
\( (2 \sqrt[]{2y+3})^2 = 3^2 \)
\( 4 (2y+3) = 9 \)
\( 8y +12 = 9 \)
\( y = - \frac{3}{8} \)

Comprobación:
\( y = - \frac{3}{8} \)
MI: \( \sqrt[]{2(- \frac{3}{8} )+1} + \sqrt[]{2(-\frac{3}{8}) + 3} \\= \sqrt[]{- \frac{3}{4} +1} + \sqrt[]{-\frac{3}{4} + 3} \\= \sqrt[]{ \frac{1}{4} } + \sqrt[]{\frac{9}{4}} \\= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \\= \frac{4}{2} \\= 2 \)

MD: 1

MI \( \neq \) MD
\( S = \phi \)