5.1 Geometría plana

Igualdad y semejanzas de triángulos

Criterios de igualdad de triángulos
    • Criterio \( l \hspace{3mm} a \hspace{3mm} l \).

    Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, entonces son iguales.

    • Criterio \( a \hspace{3mm} l \hspace{3mm} a \).

    Si dos triángulos tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado, entonces son iguales.

    • Criterio \( l \hspace{3mm} l \hspace{3mm} l \).

    Si dos triángulos tienen respectivamente iguales tres lados, entonces son iguales.


Teorema de las transversales
  • Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas paralelas, entonces se cumple que la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a la razón entre los dos segmentos correspondientes en la otra.


O sea:  

igualdad_triangular

1)                                                            
2)
3)

Segunda y tercera parte del Teorema de las transversales.


Segunda parte
  • La razón entre dos segmentos de una semirrecta es igual a la razón entre los dos segmentos correspondientes de paralelas a ellos.

                                        

Tercera parte
  • La razón entre dos segmentos de una paralela es igual a la razón entre los dos segmentos de paralela correspondientes en otra paralela.
  • tercera_parte



Recíproco del Teorema de las transversales
  • Si dos semirrectas de origen común son cortadas por varias rectas de manera que la razón entre dos segmentos de una de ellas es igual a la razón entre los dos segmentos correspondientes en la otra, entonces esas rectas son paralelas.


Teoremas de semejanza de triángulos:

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos
  • Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos (o con su prolongación) otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

Criterios de semejanza de triángulos
    • Criterio \( a \hspace{3mm} a \).

    Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos de sus ángulos interiores, entonces son semejantes.

    • Criterio \( p \hspace{3mm} a \hspace{3mm} p \).

    Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente proporcionales e iguales el ángulo comprendido entre dichos lados, entonces esos triángulos son semejantes.
    • Criterio \( p \hspace{3mm} p \hspace{3mm} p \).

    Si dos triángulos tienen tres lados respectivamente proporcionales, entonces esos triángulos son semejantes.



Razón entre perímetros y áreas en triángulos semejantes:

-Si ∆ABC ~ ∆A'B'C'; \( k \) la razón de semejanza; \( P \)el perímetro del  ∆ABC y \( P' \) el perímetro del ∆A'B'C', entonces se cumple que: \( P' = kP \).

-Si ∆ABC ~ ∆A'B'C'; \( k \)la razón de semejanza; \( A \)el área del  ∆ABC y \( A' \)el área del ∆A'B'C', entonces se cumple que: \( A' = k^2 \cdot A \)


Grupo de Teoremas de Pitágoras:

Teorema de la Altura
  • En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que la altura determina sobre la hipotenusa.


       


Teorema de los Catetos
  • En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de cada cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud del segmento de hipotenusa correspondiente al cateto.

Teorema de Pitágoras
  • En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.


Para estos teoremas se cumplen también sus recíprocos.
  • Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo agudo de 30° , la longitud del cateto opuesto a ese ángulo  es la mitad de la longitud de la hipotenusa.