5.2 Trigonometría

Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad donde aparecen razones trigonométricas y se cumple para todos los valores admisibles de la variable utilizada.

Identidades trigonométricas más conocidas.

Para todo número real x, se cumple que:

1) \( sen^2x + cos^2x = 1 \), de aquí que: \( sen^2x = 1 - cos^2x \hspace{3mm} y \hspace{3mm} cos^2x = 1 - sen^2x \)

2) para \( x ≠ (2k + 1 ) \frac{\pi}{2} \) con k \( \in \) ℤ 

3) para x ≠ kπ con k \( \in \) ℤ                 

4) para \( x ≠ (2k + 1 ) \frac{\pi}{2} \) con k \( \in \) ℤ    

5) para x ≠ kπ con k \( \in \) ℤ                  


6) \( tanx \cdot cotx = 1 \)

7) Para todo par de ángulos \( x \) y \( y \) se cumple que:


\( sen(x \pm y) = senx \cdot cosy \pm cosx \cdot seny \)

\( cos(x+y) = cosx \cdot cosy – senx \cdot seny \)

\( cos(x-y) = cosx \cdot cosy + senx \cdot seny \)


con     \( 1 – tanx \cdot tany ≠0, x,y ≠ (2k + 1 ) \frac{\pi}{2} \)    con k \( \in \) ℤ   

con       \( 1+ tanx \cdot tany ≠0, x,y ≠ (2k + 1 ) \frac{\pi}{2} \)    con k \( \in \) ℤ   

con       \( cotx+ coty ≠0, x,y ≠ k \pi \)        con k \( \in \) ℤ                      

con           \( cotx- coty ≠ 0, x,y ≠ k \pi \)       con k \( \in \) ℤ                      

8) \( sen^2x = 2senx \cdot cosx \)

9)\( cos2x = cos^2x – sen^2x = 2cos^2x – 1 = 1 - 2sen^2x \)

10) con    \( 1 – tan^2x ≠ 0, x ≠ (2k + 1 ) \frac{\pi}{ 2} \)     con k \( \in \) ℤ          

11) con     \( x ≠ k \frac{\pi}{ 2} \) con k \( \in \) ℤ                                           \( \in \)\( \in \)\(


Procedimiento que puede ser utilizado para resolver una identidad trigonométrica.

1- Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mas posibilidades para transformarse.

2- Realizar las transformaciones que sean posibles, estas pueden ser: operaciones de cálculo, la descomposición en factores o la aplicación de identidades conocidas. Hay que observar la relación que aparece en el otro miembro, la cual debe servir de orientación para aplicar las transformaciones necesarias.

3- Hay que tener en cuenta que todas las transformaciones que se realicen deben ser válidas en el dominio de la identidad propuesta.

Si es muy difícil darte cuenta de las transformaciones que tienes que hacer, puedes optar por:

  • Hacer transformaciones en los dos miembros.

  • Tratar de llevar las razones que aparezcan en la identidad en cuestión a seno y coseno para seguir realizando transformaciones.


Ejemplo:

Demuestra que la siguiente igualdad es una identidad para todos los valores admisibles de la variable.

  • Trabajamos en el miembro izquierdo, sustituimos tanx y realizamos la suma.

  • Sustituyendo cos2x por su identidad.


  • Descomponiendo a 1 – sen2x en una diferencia de cuadrados y simplificando los factores comunes.