Una ecuación trigonométrica es una ecuación donde la variable aparece como argumento de las funciones trigonométricas dadas.

Procedimiento que puede ser utilizado para resolver una ecuación trigonométrica.

• Analizar si se puede descomponer en factores o alguna otra transformación algebraica incluyendo el cálculo.

• Transformar todas las funciones trigonométricas de manera que tengan el mismo argumento aplicando identidades conocidas.

• Expresar todas las funciones trigonométricas en términos de una misma función.

• Reducir los términos semejantes hasta llegar a una ecuación conocida considerando como incógnita la función trigonométrica en que quedó expresada la ecuación .

• Resolver la ecuación utilizando el método que le corresponda.

• Determinar los valores de la variable que aparece en los argumentos y que son soluciones de la ecuación dada.

• Dar la respuesta considerando el dominio de la variable, es decir, analizando si estas no indefinen ninguna de las expresiones que aparecen en la ecuación original.

Ejemplo:

Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) \( cos^2x + senx = -1 \)

b) \( tanx = 5 – 4 cot x \) para \( – \pi ≤ x ≤ 2 \pi \)

Respuesta:

a) Como todas las funciones que aparecen tienen los mismos argumentos, se debe expresar la ecuación en términos de una misma función.

\( cos^2x + senx = -1 \)

 \( 1 – sen^2x + senx +1 = 0 \)Ordenando y reduciendo términos semejantes

\( – sen^2x + senx +2 = 0 \) multiplicando por -1

\( sen^2x - senx -2 = 0 \) Descomponiendo en factores

\( (senx + 1)(senx -2 )= 0 \)

\( senx + 1 = 0 \hspace{3mm} senx -2 = 0 \)

\( senx =-1 \hspace{3mm} senx = 2 \)

\( senx = 2 \) no es posibles

\( senx =-1 \) para \( x = 3 \frac{\pi}{2} \)

El conjunto solución es \( \lbrace{x \in \mathbb{R} : x = \frac{3 \pi }{2} + 2k \pi} \rbrace \)